EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LENGUAJE ALGEBRAICO

el álgebra permite representar simbólicamente los enunciados de algunos problemas para resolverlos. Por ejemplo en física se puede resolver problemas de caída libre mediante la expresión algebraica .

En una expresión algebraica se indican los números conocidos y desconocidos. A  los números conocidos se les denomina constantes y a los números desconocidos se les denomina variables, por ejemplo. “el enunciado “el doble del cuadrado de un numero aumentado en 5” se representa en la expresión algebraica 2x² + 5, en la que 2 y 5 son constantes y x es la variable.

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Un término algebraico tiene los siguientes elementos:

Signo: es el símbolo que indica si el término es positivo o negativo.

Coeficiente: es el numero real que aparece en cada termino. Por ejemplo 5x³, el coeficiente es 5.

Exponente:  es el número que indica la cantidad de veces que se multiplica una variable. Por ejemplo 4y³ ,  el exponente es 3 e indica que y se multiplica tres veces por sí misma. Es decir, y³ = y × y × y.

Parte literal:  es el producto de las variables de un término con sus respectivos exponentes. Por ejemplo 7m²n³, la parte literal es  m²n³.

EJEMPLOS

1. Representar algebraicamente cada enunciado

a.  Un quinto del cuadrado de un número aumentado en cuatro: 1/5x² + 4 

b.  El triple producto de un número aumentado en  cinco: 3x + 5.

c.  La diferencia de los cubos de un número: x³ – x³.

2.  Determinar el signo, el coeficiente. Los exponentes y la parte literal de cada término.

a.  2x²y⁵.                                                                     b.  - 1/3 a²b³. 

Signo: (+)                                                                    Signo: (-)

Coeficiente: (2)                                                           Coeficiente: (1/3)

Exponentes: 2 y 5                                                        Exponentes: 2 y 3

Parte literal: x²y⁵.                                                        Parte literal: a²b³

MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, en el que el coeficiente es un número real, y los exponentes son números enteros mayores o iguales a cero.

Características de un monomio.

En un monomio podemos determinar el grado absoluto, el grado relativo con respecto a una variable y el valor numérico.

Grado absoluto de un monomio. 

Corresponde a la suma de los exponentes de las  variables que intervienen en dicho monomio. A demás según su grado absoluto los podemos clasificar en:

ü   Homogéneo: si dos o más monomios tienen el mismo grado absoluto.

ü   Heterogéneos: si dos o más monomios tienen diferente grado absoluto.

Grado relativo de un monomio con respecto a una variable

El grado relativo de un monomio con respecto a una variable es el exponente de la variable. Por ejemplo 2x³y², el grado relativo con respecto a y es 2.

Valor numérico de un monomio

El valor numérico de un monomio es el valor que se obtiene al reemplazar las variables por números y efectuar las operaciones.

Ejemplo,  si a = 4, entonces, el valor numérico del monomio 3a² es 3 × ( 4 )² = 48

ÁNGULOS

GRADO: DÉCIMO

DEFINICIÓN

En trigonométrica un ángulo es un giro o rotación  que se genera a partir de dos rayos que concurren en un punto fijo llamado vértice. Al rayo que permanece fijo se le denomina lado inicial y al rayo que gira se le llama lado final. El ángulo ∡ DAE también se puede  nombrar con la letra mayúscula (∡A) o con la letra minúscula del alfabeto griego (a).

POSICIÓN NORMAL O CANÓNICA DE ÁNGULOS

Un angulo a  está ubicado en posición normal o canónica, si está representado en un sistema de coordenadas cartesianas, su vértice coincide con el origen del sistema y el lado inicial coincide con el semieje positivo x.

Ademas, si un ángulo está en su posición canónica y el lado final coincide con alguno de los ejes coordenados, entonces se le denomina ángulo cuadrantal.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL O EN GRADOS

Un ángulo de giro completo o perigonal es aquel que se genera por una rotación completa del lado final. La medida de este ángulo es 360 grados y se escribe 360°, donde el símbolo ° se lee grados.

Es importante tener en cuenta que:

• Si un giro completo se divide en 360 partes iguales entonces, cada parte es un grado sexagesimal, es decir, 1/360 parte de la rotación completa es igual a 1°.
• Si un grado se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un minuto, es decir 1/60 de grado es igual a 1´, donde el símbolo ´ se lee minuto.
• Si un minuto se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un segundo, es decir, 1/60 de minuto es igual a 1" , donde el símbolo " se lee segundo.

Por tanto, podemos decir que 1° = 60´ = 3600"

Ejemplo.

1.  Un avión puede despegar con un ángulo mínimo de 37,425°.  ¿Cuál es el ángulo mínimo en grados, minutos y segundos?

Primero, se descompone la medida del ángulo como la suma de su parte entera  y su parte decimal:

37,425°  =  37° +  0, 425

La parte decimal se multiplica por 60´ para hallar la cantidad de minutos y se suma a la parte entera que representan los grados.

=   37°  +  (0,425 × 60´)

=   37°  +  25,5´

Si existe parte decimal en la cantidad de minutos, se repite el proceso multiplicando por 60" 

=   37°  +  25´  +  (0,5  × 60")

=   37°  +  25´  +  30"

Por tanto, el avión puede despegar con un ángulo mínimo de 37° 25´ 30"

2.  La cuerda de una cometa en vuelo forma un ángulo con la horizontal de 43° 30´ 12".Expresar esta medida en grados.

Expresamos la medida del ángulo como la suma de sus partes, convirtiendo cada una a grados según la equivalencia 1° = 60´ = 3600". por tanto se tiene que:

Después al realizar las respectivas multiplicaciones y divisiones simplificando también las unidades (grados. minutos y segundos) tenemos el siguiente resultado

=  43°   + 0,6666´  +   0,0033"

=  43,67°

Por tanto la cuerda de la cometa forma un ángulo de 43,67° con la horizontal.

ÁNGULOS COTERMINALES

Dos ángulos en posición normal son coterminales  si comparten el mismo lado final, en este caso no importa la magnitud ni el sentido de la rotación de la los ángulos.

Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales.

ÁNGULOS ESPECIALES

Los ángulos se clasifican según sus medidas y según la suma de sus medidas, así:

Según sus medidas

Ángulo agudo

Su medida está entre 0° y 90°

Ángulo recto

Su medida es igual a 90°

Ángulo obtuso

Su medida está entre 90° y 180°

Ángulo llano

Su medida es igual a 180°

Según la suma de sus medidas

Ángulos complementarios

El ∢ABC es complementario con el ∢CBD si m ∢ABC + ∢CBD = 90°.

Ángulos suplementarios

El ∢ABC es suplementario con el ∢CBD si m ∢ABC + ∢CBD = 180°.

ACTIVIDAD

1. Traza un ángulo positivo y un ángulo negativo, que sean coterminales con cada uno de los siguientes ángulos

2.  La torre de Pisa en Toscana Italia, tiene una inclinación de 4° 10´ 22" con respecto al eje vertical. expresar la inclinación que tiene la torre de pisa únicamente en grados.

3.  Pasar estas medidas a grados

a)  21º 10' 32''

b)  15º 40''

c)  12º 50' 40''

d)  33º 33' 33''

4.  Nombra cada ángulo. Luego determina el lado inicial, lado final, el vértice y el sentido.